斯坦福数学教授：孩子学数学到底该不该数手指头？

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斯坦福大学数学教育学教授Jo Boaler，有一天在办公室里接到一位母亲的来电，说她5岁的女儿哭着从学校回来，因为老师不让她在算术的时候数手指。

几个星期后，Boaler教授给本科生上数学课时，强调图象化数学非常重要。这时有位学生问道：“但这只是对初等数学来说是这样的吧？”

Boaler教授讲的这两件事，代表了大多数人对数学的看法。我们一般都认为，孩子在学习数学的时候，应当尽早脱离数手指这个“笨办法”。而随着数学学习阶段的升高，靠图像来学习数学也是不可取的。

换句话说，在很多人的心目中，文字和数学符号才是严肃的数学，高级的数学。借助“手指”、图形和图表来学习数学，就是思考能力差的表现。

Boaler教授说，这是几百年来的误解。正因为存在这个误解，孩子们被要求藏起手指，我们的数学课堂变成只有一大堆数字和数学符号的课堂，也成了让很多学生感到枯燥和畏惧的课堂。

Boaler教授和斯坦福大学的神经科学家一起合作，经过多年来对人脑的研究，发现了一个颠覆性的新证据——图像在数学学习中不仅重要，还是必需的。靠图像来学习数学，应该贯穿从学前班到大学的每一个阶段的数学学习过程。

接下来要解释一下这个结论的科学依据。

神经科学家的研究结果表明，人类的大脑是一个“分布的网络”，在我们学习的时候，大脑的不同区域被激活，并且相互作用。

尤其在思考数学问题的时候，多个网络会参与这一活动，包括两个视觉路径——腹部和背部视觉路径。

神经图像显示，当人们做数学计算的时候，比如12 x 25，即使面对的是纯粹的数字，我们的思维也涉及了图像过程。下图中的绿色区域，是一部分背部视觉路径，无论成人还是儿童，在思考数学问题的时候，这部分区域都会被激活。

研究人员还发现，8到14岁孩子，随着年龄的增长，他们的腹部视觉路径会发育起来（即下图中的橘黄色区域），并且大脑对图像化的数字形式更为敏感和擅长，比如想到10，他们的脑中就会出现10个圆点或别的形像。

当我们思考数学问题的时候，这些视觉路径，和大脑的颞叶（下图中红色和紫色区域）以及海马区域（下图中红色海马状区域）一起工作，完成整个思维过程。

还有一个更令人惊讶的事实是，即使孩子不用手指来帮助计算，他们在脑子里也会“看到”表示数字的手指。

神经科学家Ilaria Berteletti 和James R. Booth去年发表过一篇论文，研究了大脑中的一个特别的区域，这个区域叫“体感手指区域”。当8到13岁的孩子做比较复杂的减法运算时，“体感手指区域”就被激活，他们的脑子里就自动竖起了一根根手指。

研究人员还发现，对于6岁的孩子，用手指表示数字的能力越强，他们估算、数数和数字排序的测试得分就越高。而且，用手指表示数字的能力甚至比认知测试更好地预测了他们未来的数学能力。

Boaler博士说，数手指的行为，是“宝贵和有价值的”，阻止孩子数手指，实际上是阻碍孩子的数学能力。

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那么，是不是像人们普遍认为的那样，学数学只是需要在入门和初级阶段时借助图像，之后就应当尽可能减少对图像的依赖，转向完全的抽象思维和逻辑思维呢？

Boaler博士检索了过去的研究文献，早在1980年代，就有研究人员发现，那些强调图像化数学并且能巧妙运用图像来讲解数学的老师，能培养出有更高数学成就的学生，不仅小学如此，初中、高中、大学都如此。无论是这类老师，还是他们所教的学生，对数学概念都有着更清晰和深入的理解。

正应为如此，美国数学协会（MAA）鼓励大学采用图像化数学的教学方式。去年夏天，Boaler教授所在的斯坦福大学数学研究中心Youcubed，为小学3年级到初中3年级的学生设计了一整套免费的图像化数学学习课程，使用过的教师中有88% 反映说希望有更多这样的课程，83%的学生说这个课程增进了他们对数学概念的理解。

Maryam Mirzakhani是获得菲尔兹奖（数学界最高奖项）的第一位女数学家，她的著作几乎全是图形。其他数学家对她的理论的评价是：“美丽”、“惊人”“将数学以外的理论与数学联系起来”。

爱因斯坦是一个更著名的例子。他常常将他的思想用图像表示出来，然后再将图像转化成文字和符号。

“图像化数学可以是抽象思维的辅助，但是，图像也可以从抽象数学中产生，又将抽象数学提升到更高的层次。它可以激发老师和学生的灵感，从另一种角度去看数学，看到数学的创造性和美感，去理解数学思想。” Boaler博士说。

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在接受Boaler博士的图像化数学教学的一所中学里，有一位学生的妈妈专程来问Boaler博士，在过去的一周里，他们究竟做了什么，让她的女儿对数学的态度发生了完全的转变。之前女儿一直说讨厌数学，不是学数学的料，然后一周的新数学课上完，她说，数学原来可以如此开放，有创造性，可以看得见，而不是一门僵化、封闭和晦涩的学科。

多年来，Boaler博士和她的同事在斯坦福开办初一和初二学生的数学夏令营。去年的夏令营里，他们用图像化的方式教授线性方程和二次方程，夏令营结束的时候，81个学生的数学平均成绩提高了50%。

在通常的教学方式中，方程是完全通过数字和符号来教授的，完全不涉及图像。但在这个夏令营里，他们采取了不同的做法。下面的一些例子，对我们也是大有启发的。

不用一个个数的话，你怎么才能算出下图中一共有多少个红色的格子？

学生们一共给出了6种解法：

在这个例子中，学生们从不同的图形样式中进行了代数归纳，对方程有了更深入的理解。

即使18 x 5这样的简单乘法，也可以用图形来表达，得到多种解法：

这是一个火鸡问题。一个人正在节食。他在火鸡店买了3块火鸡肉，总重量为1/3磅。但是他的节食计划只允许他吃1/4磅火鸡肉。那么他买来的这3块火鸡肉，他可以吃多少？

这道题要是用数字算来算去，会有点绕，但是图形的方法解决，其简洁清楚，令人叹服。

给哪家出租车公司打电话？在你的城市里有两个出租车公司：Uber和Lyft。你父亲打了一辆出租车从机场回家，但是把他的手机落在车上了！眼下你有以下数据：

在这个城市里，有85%的出租车是Uber，15%是Lyft。

你的父亲认为他把手机落在一辆Lyft出租车上了，但是他不敢确定。根据你的经验，你父亲有80%的可能性是对的，20%的可能性是错的。

他想要把手机找回来，应该给哪家出租车公司打电话？就是说，在两家公司里，他把手机落在哪家公司车上的可能性更大？

同样的，下图给出了非常一目了然的答案。服不服气？

所以他应该先给Uber打电话。

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我们需要改变学习数学的方式。Boaler教授给教师和家长提出的建议有三点:

1. 要摒弃“擅长记忆和计算就是擅长数学”的观念，鼓励学生使用图像化方式去解决数学问题。算得快并不是高阶段数学学习所必须的。真正擅长数学的，是会深入思考，懂得内在联系，能将数学“画出来”的人。

在Boaler教授的数学课上，当她给出一个数学题的时候，她对学生说：“我不在意速度。算得快的人，往往没有做深入思考。我想要看到的是有趣、有创意的数学思路。”

2．要重视数手指，并鼓励数手指。成功的数学学习者都在头脑中形成了“手指表示法”，直到成年还在使用。当我们阻止孩子用手指，就是阻碍了他们的一个很重要的数学能力。不让孩子数手指的教师认为这是为他们好，因为数手指太幼稚。但是现在我们应该改变这种做法，鼓励学生数手指。

3．数学的教学和学习，都应该变得更“图像化”。

没有一个概念是不能用图像来表示的。但具有讽刺性的是，在小学阶段，数学课是数字主导的。学生们被迫记住算术得数，几乎没有数学图像，也不鼓励学生用图像解决数学问题。随着年级的升高，学生大脑中的视觉路径在发育，而数学课却全充斥着数字和符号，并且被告知说，图像只是吸引小孩子学数学的把戏而已。

现在已经有许多数学家和数学教育者意识到了这个问题，在他们的探索下，许多优秀的书、教学视频、App等，不断问世，帮助孩子用“看的见”的方式学习数学。数学学习的革命，正在悄然开始。

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